Уравнение окружности

Найдите все значения а, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение:

Решим задачу методом графической интерпретации.

Запишем первое уравнение системы в виде

Пусть М(х; у) - точка координатной плоскости (рисунок), тогда левая часть этого уравнения есть сумма расстояний от точки М до точек М₁(-8; 0) и М₂(0; 6).
Так как расстояние между точками М₁ и М₂ равно 10, то координаты точки М удовлетворяют первому уравнению системы в том и только в том случае, когда М лежит на отрезке М₁М₂. В самом деле, если М не принадлежит прямой М₁М₂, то указанная сумма расстояний больше 10 (неравенство треугольника). В случае, когда точка М лежит на прямой М₁М₂ вне отрезка М₁М₂, эта сумма также больше 10.

Второе уравнение системы х² + у² = а² задает семейство окружностей радиуса |а| с центром в точке О (0; 0). Условию задачи будет удовлетворять окружность, имеющая единственную общую точку с отрезком М1М2. Это возможно в следующих случаях.

1)    Окружность касается отрезка М1М2, в этом случае |а|=h, где h — высота в треугольнике ОМ₁М₂, опущенная из точки О на М₁М₂ (см. рисунок). Тогда

2)    Окружность пересекает отрезок М₁М₂ в одной точке; в этом случае ее радиус должен быть больше катета ОМ₂, но не превышать катета ОМ₁ треугольника ОМ₁М₂, то есть 6 <|а|≤8.

Ответ. -8 ≤а<-6,

6 < а ≤ 8.

Интересные задачи по математике с решениями можно посмотреть у нас.