Система с параметром

Решите систему неравенств

в зависимости от значений параметра а.

Решение:

Рассмотрим задачу на плоскости Оха. Преобразуем исходную систему неравенств к виду

Выполним построения графиков функций а = х2 + х и а= -х2 + 2х + 1 на плоскости Оха (рисунок). Найдем координаты точек пересечения А и В построенных графиков. Абсциссы этих точек найдем из уравнения х2 + х = 2х-х2 + 1. Его корнями являются числа х1 = -0,5 и х2 = 1. Заметим, что корни х1, х2 совпадают с абсциссами вершин первой и второй парабол соответственно, а ординаты точек А и В равны -0,25 и 2.

Множество решений исходной системы неравенств - множество точек, принадлежащих фигуре, выделенной темным фоном.

Проводим прямую, параллельную оси Ох на высоте а. Она будет иметь общие точки с полученной фигурой при -0,25 ≤ а≤ 2. При этом все общие точки образуют отрезок этой прямой и их абсциссы х удовлетворяют неравенству х3 ≤ х ≤ х4, где х3 - меньший из корней уравнения

а х4 - больший из корней уравнения

 

Соответственно, данная в условии система неравенств имеет решение при -0,25 ≤ а ≤ 2 и это решение есть отрезок [x3,x4]

Ответ:при -0,25 ≤ а ≤ 2; при других а решений нет.

Еще задачи на тему "Координатная плоскость".

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт