Система с модулем
Найдите все значения а, при которых система уравнений
имеет ровно два действительных решения.
Решение:
Графиком первого уравнения системы является замкнутая ломаная L (граница многоугольника) с вершинами в точках, лежащих на прямых х = 0, y=0, y=3x/2.
Найдем эти вершины.
- Если х = 0, то |у| = 3 (у = 3 и у = -3);
- если у = 0, то |х| = 3;
- если у = 3x/2, то |х| =3.
Ломаная L изображена на рисунке где А1(-3;0), A2(3;0), B1(0;-3), B2(0;3), C1(-3;-9/2;), C2(3;9/2).
Графиком второго уравнения при а > 0 является окружность радиуса √а с центром в точке 0(0; 0).
1) Окружность касается отрезков А1В2 и А2В1, тогда √a=√3/2 и а=9/2.
2) Радиус окружности равен расстоянию от точки О до точек С1 и С2, тогда
Ответ: a1=9/2, a2=117/4.
Смотрите решения похожих задач на координатную плоскость здесь.