Площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют условиям

Дана система неравенств:

Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:

а)    первому неравенству системы;
б)    первым двум неравенствам системы;
в)    всем трем неравенствам системы.

Решение:

а) Первому неравенству, равносильному совокупности двух неравенств (х - 2)+ у≤ 4 и (х + 2)+ у≤ 4, удовлетворяют координаты точек, находящихся внутри и на границах двух кругов радиуса 2 с центрами (-2; 0), и (2; 0) (рисунок ниже). Площадь S1 этой фигуры Ф1 равна S1 = 2•Π•2= 8Π.
б) Второму неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных вне квадрата с вершинами (-2; 0), (0; 2), (2; 0), (0; -2) и на его границе (рисунок ниже). Площадь S2 фигуры Ф2, координаты точек которой удовлетворяют первым двум неравенствам системы, равна S1 - S0, где S0 - половина площади круга радиуса 2, то есть S2 = 8Π — 2Π = 6Π.

в) Третье неравенство можно записать в виде (х - 4)2 - у2 ≥0 или (х + у - 4) (x - y - 4) ≥ 0. Этому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри и на границе одной из двух пар вертикальных углов, образующихся при пересечении прямых х + у - 4 = 0 и х - у - 4 = 0. Так как (0; 0) - решение третьего неравенства системы, то этому неравенству удовлетворяют координаты точек фигуры Ф2, лежащих в прямом угле с вершиной (4; 0) абсциссы которых х ≤ 4, ив вертикальном с ним угле.

Фигура Ф3, координаты точек которой удовлетворяют всем неравенствам системы, выделена темным фоном на рисунке выше.

Ее площадь S3 равна сумме площади круга радиуса 2 и площади прямоугольного треугольника с вершинами (2; 2), (2; -2) и (4; 0), то есть S3 = 4Π + 4.
Ответ: а) 8Π; б) 6Π; в) 4Π + 4.


Другие задачи на координатную плоскость читайте здесь.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым