Если четырехугольник является параллелограммом

Теорема. Если четырехугольник является параллелограммом, то:

1. его противоположные углы равны;
2. его противоположные стороны равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рисунок).

1. По определению параллелограмма стороны АВ и DC, а также ВС и AD параллельны. Параллельность прямых АВ и DC, пересеченных прямой BD, влечет за собой равенство углов ABD и CDB, так как это накрест лежащие углы. Аналогично, параллельность прямых ВС и AD, пересеченных прямой BD, влечет за собой равенство углов ADB и CBD. Поэтому углы ABC и CDA равны как суммы равных углов.

Треугольники BAD и DCB равны, так как у них сторона BD общая, а углы ABD и CDB, а также углы ADB и CBD попарно равны. Значит, углы А и С равны друг другу.

2. У треугольников BAD и DC В сторона BD общая, а углы ABD и CDB, а также углы ADB и CBD равны друг другу. Потому эти треугольники равны. Значит, отрезки АВ и DC, а также ВС и AD равны друг другу как соответствующие стороны равных треугольников.

3. Пусть диагонали PR и QS параллелограмма PQRS пересекаются в точке А (рисунок ниже).

Тогда по доказанному отрезки QR и SP равны. Углы PSQ и RQS равны как накрест лежащие углы при параллельных QR и SP, пересеченных прямой QS, а углы SPR и QRP равны как накрест лежащие при тех же параллельных, но пересеченных прямой PR. Значит, треугольники PAS и RAQ равны по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства этих треугольников делаем вывод о равенстве их соответствующих сторон РА и RA, а также о равенстве сторон QA и SA.