Средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне треугольника и равна ее половине.

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, в геометрии называется средняя линия треугольника.

средняя линия треугольника

На рисунке каждый из отрезков KL, LM, МК является средней линией треугольника ABC.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне треугольника и равна ее половине.

Теперь докажем эту теорему.

Доказательство.

Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF (рисунок), т. е. DP = PE и FQ = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F.

 средняя линия треугольника

Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезок RF равен отрезкам ЕР и DP, а угол EPQ равен углу FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых РЕ и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, доказанному в теореме (см теорему когда четырехугольник является параллелограммом), утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм.

Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ параллельна стороне DF треугольника DEF.

По свойству параллелограмма, получаем, что DF = PR. Но PR = 2PQ. Значит, DF = 2PQ, или окончательно, PQ = DF.

Отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия трапеции.

средняя линия трапеции 

На рисунке отрезок АВ — средняя линия трапеции UVYZ, так как UA = AV и ZB = BY.

На сайте   вы найдете презентации по математике, которые помогут правильно подготовиться к уроку.

 

Оставь комментарий первым