Функция у = tgx, ее свойства и график

Число, равное отношению синуса угла α (α ≠ π/2 + πk, kЄZ) к косинусу этого угла, есть  тангенс угла α, его обозначают tgα. Поскольку для каждого значения величины х, кроме x = π/2 + πk, kЄZ, установлено взаимно-однозначное соответствие со значениями у = tgx , то тем самым задана функция у = tgx .

Свойства этой функции следуют из свойств функций y = sinx и y = cosх .

Поскольку функции у = sinх и y = cosх определены при всех значениях переменной х, область определения функции у = tgx это все действительные числа, за исключением тех точек, где cosх равен нулю, т. е. за исключением точек x = π/2 + πn, nЄZ.

Область значений функции у = tgx это всех действительные числа.

Функция у = tgx является периодической с основным периодом π: tg(α + πn) = tgα для любых αЄR, nЄZ.

Функция у = tgx нечетная, поскольку для любого значения х, которое принадлежит области определения является верным равенство tg(-x) = -tgx.

График функции у = tgx пересекается с осью Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением tgx = 0, значит х = πn, nЄZ. График функции у = tgx пересекает ось Оу в единственной точке с ординатой y = 0.

Значения функции у = tgx положительны для углов, расположенных в I и III четвертях, и отрицательны для углов, расположенных во II и IV четвертях:

tgx > 0 при x Є (0 + πk; π/2 + πk), kЄZ;

tgх < 0 при x Є (-π/2 + πk; 0 + πk), kЄZ.

Функция у = tgx не имеет наибольшего и наименьшего значений.

Функция у = tgx не является монотонной. Она возрастает при x Є (-π/2 + πn; π/2 + πn), nЄZ.

Функция у = tgx непрерывна и имеет производную в каждой точке области из определения.

График рассматриваемой функции у = tgx показан на рисунке. График функции тангенс это набор линий, которые симметричны относительно начала координат и имеет вертикальные асимптоты x = π/2 + πn, nЄZ.