Найти сечение призмы плоскостью

Задача:  Точки А, В, С - точки на разных ребрах четырехугольной призмы. Найдем сечение призмы плоскостью ABC.

Построение сечения призмы

Решение:

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах призмы лежат точки А, В, С. Наиболее просто строить сечение в том случае, когда точки А, В, С лежат на ребрах, выходящих из одной вершины. Искомое сечение в этом случае — треугольник: АВС.

Построение сечения призмы

Если точки А, В, С расположены так, как изображено на рисунке, то строить сечение сложнее. Здесь сначала построим след секущей плоскости АВС на плоскости нижнего основания. Для этого найдем точки М и N пересечения прямых АВ и ВС, которые лежат в секущей плоскости, с плоскостью RSUV: М — точка пересечения прямых АВ и RV, N — точка пересечения прямых ВС и UV. Прямая MN — общая прямая секущей плоскости и плоскости нижнего основания.

Точка Р пересечения прямой RS со следом MN принадлежит и секущей плоскости, и плоскости грани RR1S1S. Учитывая, что этим двум плоскостям принадлежит и точка А, получаем, что прямая РА — след секущей плоскости на плоскости RR1S1S. Значит, плоскость АBС пересекает грань RR1S1S по отрезку AD, а грань UU1S1S — по отрезку CD. Искомым сечением является четырехугольник ABCD.

Видим, что новым элементом в этом решении по сравнению с задачей построить сечение треугольной пирамиды является построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

Построение сечения призмы

На рисунке показан случай, когда искомым сечением является пятиугольник. Здесь использована точка Сх пересечения ребра UU1с секущей плоскостью. Следы секущей плоскости на боковых гранях пирамиды строятся таре же, как и в предыдущем случае. 

Построение сечения призмы

Рисунок показывает, что искомым сечением четырехугольной призмы может быть и шестиугольник. След АВ секущей плоскости на плоскости основания позволяет последовательно найти точки X и Y его пересечения с гранями SUU1S1 и RSS1R1, след ХС секущей плоскости на плоскости SUU1S1, точку Z пересечения ребра SS1 с секущей плоскостью и след ZY секущей плоскости на грани RSS1R1.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт