Найти сечение призмы плоскостью

Задача:  Точки А, В, С - точки на разных ребрах четырехугольной призмы. Найдем сечение призмы плоскостью ABC.

Решение:

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах призмы лежат точки А, В, С. Наиболее просто строить сечение в том случае, когда точки А, В, С лежат на ребрах, выходящих из одной вершины. Искомое сечение в этом случае — треугольник: АВС.

Если точки А, В, С расположены так, как изображено на рисунке, то строить сечение сложнее. Здесь сначала построим след секущей плоскости АВС на плоскости нижнего основания. Для этого найдем точки М и N пересечения прямых АВ и ВС, которые лежат в секущей плоскости, с плоскостью RSUV: М — точка пересечения прямых АВ и RV, N — точка пересечения прямых ВС и UV. Прямая MN — общая прямая секущей плоскости и плоскости нижнего основания.

Точка Р пересечения прямой RS со следом MN принадлежит и секущей плоскости, и плоскости грани RR₁S₁S. Учитывая, что этим двум плоскостям принадлежит и точка А, получаем, что прямая РА — след секущей плоскости на плоскости RR₁S₁S. Значит, плоскость АBС пересекает грань RR1S1S по отрезку AD, а грань UU₁S₁S — по отрезку CD. Искомым сечением является четырехугольник ABCD.

Видим, что новым элементом в этом решении по сравнению с задачей построить сечение треугольной пирамиды является построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

На рисунке показан случай, когда искомым сечением является пятиугольник. Здесь использована точка Сх пересечения ребра UU₁с секущей плоскостью. Следы секущей плоскости на боковых гранях пирамиды строятся таре же, как и в предыдущем случае. 

Рисунок показывает, что искомым сечением четырехугольной призмы может быть и шестиугольник. След АВ секущей плоскости на плоскости основания позволяет последовательно найти точки X и Y его пересечения с гранями SUU₁S₁ и RSS₁R₁, след ХС секущей плоскости на плоскости SUU₁S₁, точку Z пересечения ребра SS₁ с секущей плоскостью и след ZY секущей плоскости на грани RSS₁R₁.