Как построить треугольник на пересечении биссектрис и описанной окружности
Задача: Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную около него окружность ω в точках W1, W2, W3. Постройте треугольник ABC по точкам W1, W2, W3.
Решение:
Соединим отрезками точкиW1, W2, W3. Окружность, описанная около треугольникаW1W2W3, совпадает с со. Покажем, что биссектрисы углов треугольника ABC содержат высоты треугольникаW1W2W3.
Пусть AW1 пересекает W2W3 в точке F1. Покажем, что угол W1F1W2 равен 90°.
Действительно,
-вписанные, опираются на одну дугу, аналогично .
Тогда в треугольнике W1W2F1:
И оставшийся угол W1F1W2 равен 90°. Очевидно, что точки F2 и F3 - также основания высот треугольника W1W2W3.
Отсюда построение: опишем около треугольника W1W2W3 окружность, построим его высоты и продолжим каждую из них до пересечения с этой окружностью, получим вершины треугольника ABC.