Как построить треугольник на пересечении биссектрис и описанной окружности

Задача: Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную около него окружность ω в точках W1, W2, W3. Постройте треугольник ABC по точкам W1, W2, W3.

 треугольник на пересечении биссектрис и описанной окружности

Решение:

Соединим отрезками точкиW1, W2, W3. Окружность, описанная около треугольникаW1W2W3, совпадает с со. Покажем, что биссектрисы углов треугольника ABC содержат высоты треугольникаW1W2W3.

Пусть AW1 пересекает W2W3 в точке F1. Покажем, что угол W1F1W2 равен 90°.

Действительно,

 -вписанные, опираются на одну дугу, аналогично .

Тогда в треугольнике W1W2F1:

И оставшийся угол W1F1W2 равен 90°. Очевидно, что точки F2 и F3 - также основания высот треугольника W1W2W3.

Отсюда построение: опишем около треугольника W1W2W3 окружность, построим его высоты и продолжим каждую из них до пересечения с этой окружностью, получим вершины треугольника ABC.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт