Доказать квадратное уравнение
Действительные числа a и b удовлетворяют условию a2 + b2 + ab + (3)1/2 (a + b) = 0. Докажите, что a2 + b2 ≤ 3.
Решение:
(№234 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом перехода к новым переменным.
Перегруппируем слагаемые из условия следующим образом:
a2 + ((3)1/2 + b)a + b2 + (3)1/2 b = 0.
Если a и b существуют, то дискриминант последнего уравнения – неотрицательное число:
D = ((3)1/2 + b)2 – 4 (b2 + (3)1/2 b) = ((3)1/2 + b)∙((3)1/2 – 3b) ≥ 0.
Рассматривая последнее неравенство, получаем (3)1/2 ≤ b ≤ 1/(3)1/2, ((3)1/2 + b ≥ 0) и с учетом того, что уравнение симметричное относительно a и b, получаем, что (3)1/2 + b ≥ 0 и (3)1/2 + a ≥ 0, тогда имеем:
((3)1/2 + b)∙((3)1/2 + a) = ab + (3)1/2 (a + b) + 3 = – (a2+b2) ≥ 0,
– (a2 + b2) ≥ –3 или a2 + b2 ≤ 3.
Что и требовалось доказать.
Еще задачи по математике с решениями по теме алгебраические тождества здесь.