Доказать квадратное уравнение

Действительные числа a и b удовлетворяют условию abab + (3)1/2 (b) = 0. Докажите, что ab≤ 3.

Решение:

(№234 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом перехода к новым переменным.

Перегруппируем слагаемые из условия следующим образом:

a+ ((3)1/2 b)b+ (3)1/2 = 0.

Если a и b существуют, то дискриминант последнего уравнения – неотрицательное число:

= ((3)1/2 b)2 – 4 (b+ (3)1/2 b) = ((3)1/2 b)∙((3)1/2 – 3b) ≥ 0.

Рассматривая последнее неравенство, получаем (3)1/2 ≤ b ≤ 1/(3)1/2, ((3)1/2 ≥ 0) и с учетом того, что уравнение симметричное относительно a и b, получаем, что (3)1/2  ≥ 0  и (3)1/2  a ≥ 0, тогда имеем:

((3)1/2 + b)∙((3)1/2 + a) = ab + (3)1/2 (a + b) + 3 = – (a2+b2) ≥ 0,

– (ab2) ≥ –3 или ab2 ≤ 3.

Что и требовалось доказать.

Еще задачи по математике с решениями по теме алгебраические тождества здесь.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт