Докажите неравенство
Докажите, что при положительных значениях переменных a, b, c, d выполняется неравенство a4/(bc) + b4/(cd) + c4/(da) + d4/(ab) = a2 + b2 + c2 + d2.
Решение:
(№1572 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Поскольку a4 + b2c2 ≥ 2a2bc, то a4/(bc) ≥ 2a2 – bc.
Аналогично b4/(cd) ≥ 2b2 – cd и тогда d4/(ab) ≥ 2d2 – ab.
Получаем:
a4/(bc) + b4/(cd) + c4/(da) + d4/(ab) 2(a2 + b2 + c2 + d2) – (bc – cd – da – ab),
Но 2bc – 2cd – 2da – 2ab ≤ (b2 + c2) + (c2 + d2) + (d2 + a2) + (a2 + b2) =
= 2(a2 + b2 + c2 + d2).
Что и требовалось доказать.
И другие задачи с решениями по теме алгебраические тождества можно посмотреть на нашем сайте.