Докажите неравенство

Докажите, что при положительных значениях переменных a, b, c, d выполняется неравенство a4/(bc) + b4/(cd) + c4/(da) + d4/(ab) = a2 + b2 + c2 + d2.

Решение:

(№1572 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Поскольку a4 + b2c2 ≥ 2a2bc, то a4/(bc) ≥ 2a2bc.

Аналогично b4/(cd) ≥ 2b2cd  и тогда d4/(ab) ≥ 2d2ab.

Получаем:

a4/(bc) + b4/(cd) + c4/(da) + d4/(ab)  2(a2 + b2 + c2 + d2) – (bccddaab),

Но 2bc – 2cd – 2da – 2ab ≤ (b2 + c2) + (c2 + d2) + (d2 + a2) + (a2 + b2) =

= 2(a2 + b2 + c2 + d2).

Что и требовалось доказать.

И другие задачи с решениями по теме  алгебраические тождества можно посмотреть на нашем сайте.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт