Хотя бы одно из чисел равно нулю

Докажите, что если числа a, b и c удовлетворяют условиям

ab + bc + ca = 1 (*) и a/(1 - a2) + b/(1 - b2) + c/(1 - c2) = 0 (**),

то хотя бы одно из них равно нулю.

Решение:

(№1095 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом тождественных преобразований.

Приведем (**) к общему знаменателю:

Поскольку (1 - a2) (1 - b2) (1 - c2)≠0, то a(1 - b2 - c2 + b2c2) + b(1 - a2 - c2 + a2c2) + c(1 - b2 - a2 + b2a2) = 0,

a + b + c + abc (bc + ac + ab) – ab2ac2ba2bc2ca2cb2 = 0.

Используя (*), имеем: a + b + c + abcab (a + b) – ac (a + c) – bc (b + c) = 0,

(a + b)(1 - ab) + c + abc - ac (a + c) – bc (b + c) = 0.

Используя (*), имеем: 1 – ab = bc  + ac, тогда (a + b)c(a + b) + с + abcac (a + c) – bc (b + c) = 0,

c((a + b)2 + 1 + ab - a(a + c) - b (b + c)) = 0.

Получаем, что с = 0 или (a + b)2 + 1 + ab - a(a + c) - b (b + c) = 0.

(a + b)2 + 1 + aba2 - acb2 - bc = 0, (a + b)2 + 1 + ab – (a2 + b2) - (ac + bc) = 0, используя (*), имеем: 

(a + b)2 + 1 + ab – (a2 + b2) – 1 + ab = 0, (a + b)2 – (a -  b)2 = 0, │a + b │= │a - b│,

откуда получаем, что = 0 или = 0.

Мы предлагаем множество разнообразных задач по математике с решениями чтобы вы экономили свое время и совершенствовали свои знания.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым