Хотя бы одно из чисел равно нулю
Докажите, что если числа a, b и c удовлетворяют условиям
ab + bc + ca = 1 (*) и a/(1 - a2) + b/(1 - b2) + c/(1 - c2) = 0 (**),
то хотя бы одно из них равно нулю.
Решение:
(№1095 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом тождественных преобразований.
Приведем (**) к общему знаменателю:
Поскольку (1 - a2) (1 - b2) (1 - c2)≠0, то a(1 - b2 - c2 + b2c2) + b(1 - a2 - c2 + a2c2) + c(1 - b2 - a2 + b2a2) = 0,
a + b + c + abc (bc + ac + ab) – ab2 – ac2 – ba2 – bc2 – ca2 – cb2 = 0.
Используя (*), имеем: a + b + c + abc – ab (a + b) – ac (a + c) – bc (b + c) = 0,
(a + b)(1 - ab) + c + abc - ac (a + c) – bc (b + c) = 0.
Используя (*), имеем: 1 – ab = bc + ac, тогда (a + b)c(a + b) + с + abc – ac (a + c) – bc (b + c) = 0,
c((a + b)2 + 1 + ab - a(a + c) - b (b + c)) = 0.
Получаем, что с = 0 или (a + b)2 + 1 + ab - a(a + c) - b (b + c) = 0.
(a + b)2 + 1 + ab – a2 - ac – b2 - bc = 0, (a + b)2 + 1 + ab – (a2 + b2) - (ac + bc) = 0, используя (*), имеем:
(a + b)2 + 1 + ab – (a2 + b2) – 1 + ab = 0, (a + b)2 – (a - b)2 = 0, │a + b │= │a - b│,
откуда получаем, что a = 0 или b = 0.
Мы предлагаем множество разнообразных задач по математике с решениями чтобы вы экономили свое время и совершенствовали свои знания.