Доказать тождество

Доказать тождество 

2/(x2 - 1) + 4/(x2 - 4) + 6/(x2 - 9) +  … + 20/(x2 - 100) =

= 11 (1/[(x - 1)(x + 10)]) + 1/[(x - 2)(x + 9)]) + … + 1/[(x - 10)(x + 1)]).

Решение:

(№ 911 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить используя метод тождественных преобразований.

Пусть A = 2/(x2 - 1) + 4/(x2 - 4) + 6/(x2 - 9) +  … + 20/(x2 - 100) =

= 2[1/(x2 - 1) + 10/(x2 - 102) + 2/(x2 - 22) + 9/(x2 - 92) + …] =

= 2 [(11x2 - 110)/( x2 - 1)( x2 - 102) + (11x2 - 198)/( x2 - 22)( x2 - 92)  + …] =

= 2*11*[( x2 - 102)/ ( x2 - 1)( x2 - 102) + ( x2 - 18)/ ( x2 - 22)( x2 - 92) + …].

Пусть B = 11[1/(x - 1)(x + 10) + 1/(x - 2)(x + 9) + … + 1/(x - 10)(x + 1)] =

= 11[(2x2 - 20)/( x2 - 1) ( x2 - 102) + (2x2 - 36)/( x2 - 22) ( x2 - 9) + …] =

= 2*11*[( x2 - 102)/ ( x2 - 1)( x2 - 102) + ( x2 - 18)/ ( x2 - 22)( x2 - 92) + …].

Получили, что А = В, что и требовалось доказать.

Изучать математику можно, решая задачи или разбираясь с их качественными решениями. Именно такие качественные решения олимпиадных задач по теме алгебраические тождества вы найдете на других станицах нашего сайта.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт