Значение выражения является простым числом
Найти все натуральные значения переменной n, при которых значение выражения n(n + 1)/2 – 1 является простым числом.
Решение:
(№770 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя свойства делимости.
Приведем данное выражение к общему знаменателю:
n(n + 1)/2 – 1 = (n2 +n – 2)/2 = (n – 1)(n + 2)/2.
Рассмотрим два случая:
1) Число n – четное. Пусть n = 2k, kЄN.
(n – 1)(n + 2)/2 = (n – 1)∙[2(k + 2)/2], kЄN, значит k + 1 ≥ 2.
Число (n – 1)(k+ 1) простое если n – 1 = 1, т. е. n = 2.
2) Число n – нечетное. Пусть n = 2k – 1, kЄN.
(n – 1)(n + 2)/2 = (k – 1)∙(2k + 1), kЄN, значит 2k + 1 ≥ 3.
Число (2k+ 1)(k – 1) простое если k– 1 = 1, получается, что k = 2, а n = 3.
Ответ: 2, 3.