Значение выражения является простым числом

Найти все натуральные значения переменной n, при которых значение выражения n(n + 1)/2 – 1 является простым числом.

Решение:

(№770 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя свойства делимости.

Приведем данное выражение к общему знаменателю:

n(n + 1)/2 – 1 = (n2 +n – 2)/2 = (n – 1)(n + 2)/2.

Рассмотрим два случая:

1) Число n – четное. Пусть n = 2k, kЄN.

(n – 1)(n + 2)/2 = (n – 1)∙[2(k + 2)/2], kЄN, значит k + 1 ≥ 2.

Число (n – 1)(k+ 1) простое если n – 1 = 1, т. е. n = 2.

2) Число n – нечетное. Пусть n = 2k –  1, kЄN.

(n – 1)(n + 2)/2 = (k – 1)∙(2k + 1), kЄN, значит 2k + 1 ≥ 3.

Число (2k+ 1)(k – 1) простое если  k– 1 = 1, получается, что k = 2, а n = 3.

Ответ: 2, 3.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт