Сумма всех таких дробей

Для данного натурального числа n выписываются все дроби вида 1/pq, где числа p и q взаимно простые, 0 < p< q n и p + q> n. Докажите, что сумма всех таких дробей ровна 1/2.

Решение:

(№1048 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод индукции.

При n = 1 утверждение выполняется: 1/(1∙1)=1.

При переходе от n-1 к n нужно откинуть все дроби 1/(pq), где числа p и q взаимно простые, p< q и p+ q= n,  и прибавить все дроби 1/(pn), где числа p и n взаимно простые и p< n.

Пусть 1/(pq) –  одна из откинутых дробей.

Поскольку 1/(pq) = 1/(p∙(n -q)) = 1/(pn) + 1/(n∙(n -p)), то его отбрасывание из суммы компенсируется возникновением двух новых дробей 1/(pn) и 1/(n∙(n -p)), которые подходят в условие задачи.

Таким образом, при переходе от -1 к n сумма не меняется.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт