Рациональные и иррациональные числа

Числа a, и a1/3+b1/3 — рациональные, а числоa1/3 — иррациональное. Докажите, что a + b = 0.

Решение:

(№485 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод перехода к новым переменным.

Пусть p = a1/3 + b1/3q =a1/3b1/3. Требуемое равенство равносильно тому, что р = 0. Имеем p3a + b + 3pq.

Допустим, что р ≠ 0, тогда число q – рациональное. Число a1/3 является корнем уравнения t2 pt + q = 0.

Тогда t2 = pt и a = t3 = pt2 qt = (p2q)∙pq.

Поскольку, р Є Zпо условию, q– число рациональное, то t = [a + pq]/[p2q] Є Q. Получили противоречие с тем, что a1/3 – иррациональное число.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт