Значения дискриминанта не являются точными квадратами

Есть квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Найдите наименьшее из тех натуральных значений его дискриминанта D, которые не являются точными квадратами.

Решение:

(№953 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя свойства делимости.

Пусть данный трехчлен имеет следующий вид:

ax2 + bx + c, где a, b, c - целые числа.

Тогда его дискриминант D = b2 – 4ac, где по условию D принадлежит. Числа 0, 1, 4 — являются точными квадратами, они не подходят к условию задачи. Покажем, что и числа 2 и 3 не подходят в условие задачи.

Пусть D = b2 – 4ac = 2, b2 = 2 + 4ac = 2(1 + 2ac), тогда b2 делится на 2 и  b делится на 2. Пусть b = 2, тогда b2 = 4l2 и 4l2 – 4ac = 2, число из левой части делится на 4, а число из правой части равенства не делится на 4. Получили противоречие.

Пусть D = b2 – 4ac = 3, тогда b2 — нечетное число и b — нечетное. Пусть b = 2р + 1, тогда D = 4р2 + 4р + 1 – 4ac = 4(р2 + рac) + 1 = 3. Снова получили противоречие.

Заметим, что 32 – 4∙1∙1 = 5, тогда 5 – дискриминант, пример, такого квадратного трехчлена с целыми коэффициентами x2 – 3x + 1.

Ответ: 5.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт