Несколько чисел выписано по кругу
Несколько чисел выписано по кругу. Если для некоторых четырех чисел a, b, c, d, которые записаны один за одним, выполняется равенство (a – d)∙(b – c) < 0, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что эту операцию невозможно выполнять бесконечно долго.
Решение:
(№1095 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.
В итоге каждой операции сумма попарных произведений соседних чисел увеличивается (ab + bc + bd изменяется на ac + cb + bd, а ab + cd < ac + bd, если (a – d)∙(b – c) < 0). Но сумма может принимать только конечное количество разных значений, поэтому эту операцию невозможно выполнять бесконечно долго.
Что и требовалось доказать.