Все записанные числа нули

По кругу записано 2008 целых чисел так, что из любых пяти чисел, которые записаны подряд, можно выбрать три числа, сумма которых в два раза больше, чем сумма двух других чисел из этих пяти. Доказать, что все записанные числа — нули.

Решение:

(№236 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод бесконечного спуска.

Пусть записаны числа ai, где i = 1,… ,2008, и, например, выполняется следующее равенство a1 + a2 + a3 = 2(a4 + a5) (*).

Прибавим к обеим частям равенства (a4 + a5):

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3(a4 + a5).

Cумма слева делится на 3. Также получаем, что пять любых чисел, которые записаны друг за другом, в сумме кратны 3. Поскольку замена числа a1 на число a6 не изменит делимости на 3, то числа a1 и a6 дают одинаковые остатки при делении на 3. Подобным образом устанавливается, что любые два числа, между которыми записаны 4 другие числа, дают при делении на 3 одинаковые остатки.

Учитывая, что 2008 и 5 – взаимно простые числа, получаем, что каждое из записанных чисел дает при делении на 3 одни и те же остатки r. Поскольку из пяти чисел, которые записаны друг за другом, три числа в сумме кратны трем, а остаток двух остальных при делении на 3 определяется числом 2r, то число r должно быть нулем. Таким образом, получили, что все записанные числа кратны 3.

Разделим каждое из записанных чисел на 3. Получим 2008 новых чисел, которые удовлетворяют тому условию, что из любых пяти записанных друг за другом чисел, можно выбрать три числа, сумма которых в 2 раза больше, чем сумма двух других из пяти чисел. Каждое из этих чисел также должно делиться на 3.

Разделим их на 3. Такие действия можно выполнять долго. Но только число 0 может делиться на 3 бесконечно долго, значит, все записанные числа — нули. Что и требовалось доказать.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт