Около вершин многоугольника записаны числа

Около вершины A₁ правильного 12-угольника A₁A₂…A₁₁A₁₂ записано отрицательное число, а около остальных вершин — положительные. Разрешается у шести чисел, что стоят подряд, поменять знаки на противоположные. Можно ли после нескольких таких действий получить около вершины A₂ отрицательное число, а около остальных вершин —положительные?

Решение:

(№80 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

 

Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.

Отметим некоторое количество вершин, которое обладает тем свойством, что любой набор из 6 подряд стоящих вершин содержит четное количество окрашеных вершин.

В качестве инварианта рассмотрим произведение всех чисел у окрашенных вершин. Если четное число множителей в произведении изменяет знак, то знак всего произведения не изменяется. Сначала оно равно -1, а если блик -1 сместился в вершину A₂ (неокрашенную вершину), то оно стало равно 1. Значит показанной операцией невозможно переместить число -1 в вершину A₂.

Ответ: Невозможно.