Найдите все такие функции

Функция f(x) определена на множестве действительных чисел, принимет действительные значения и удовлетворяет условию

f(x +f(xy)) = x∙f(1 + f(y)) (*)

при всех действительных x и y. Найдите все такие функции.

Решение:

(№542 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод рассмотрения частных случаев.

Обозначим b = f(0). Пусть y = 0, исходя из исходного уравнения получаем: f(x + b) = x∙f(1 + b) для любого xЄR.

Заменим x на (x– b): f(x) = (x– b)∙f(1 + b) для любого xЄR.

Обозначим a = f(1 + b), значит f(x) = a(x– b)(**)

Запишем (*) с учетом (**): (x + (x – b)a – b)a = x(1 + (x – b)a – b)a для любого xЄR.

Опустим скобки и приведем подобные: ba² + ba = x(ba² + ba) для любога xЄR, для любого, значит и для ba² + ba = 0.

Получаем b = 0 или a = 0, или a + 1 = 0.

С учетом (**) получаем, что f(x) = ax или f(x) тождественно равна 0, или f(x) =  –x + b. Обозначим, что случай тождественного равенства f(x) нулю совпадает с f(x) = ax при a = 0.

Значит f(x) = ax или f(x) = –x + b, где a и b —  действительные числа.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что все найденые функции удовлетворяют анному условию.

Ответ: f(x) = ax,  f(x) = –x + b.