График функции парабола

Найдите все тройки чисел a, b и (a ≠ b и ab ≠ 0), такие, что графиками функций y = ax2 + bx + c и y = bx2 + cx + a являются разные параболы с общей вершиной.

Решение:

(№273 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод внутренней симметрии.

Пусть точка Р(x0; y0) – общая вершина парабол y = ax2 + bx + c и y  = bx2 + cx + a, тогда прямая x0 – общая ось этих парабол.

Точка М(x1; y1), где x1 = 1, y1 = a + b + c, принадлежит двум параболам.

Точка Е(x2; y2), симметричная точке М относительно прямой x0, также принадлежит этим двум параболам.

Параболы разные, они не могут иметь более овух общих точек. Значит, точки Р, М и Е совпадают: x1 = x0 = 1.

Согласно известным формулам, имеем:

xвершины = –b/(2a) = –c/(2b), xвершины = x1 = x0 = 1.

Получили –b/(2a) = –c/(2b) = 1, пустьb = p откуда (a, b, c) = (–p/2, p, –2p), где p – определенное число.

Ответ: (a, b, c) = (–p/2, p, –2p).

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым