Наибольшее и наименьшее значения выражения
Доля мальчиков среди учеников классов “А” и “Б” составляет 2/5, а среди учеников классов “Б” и “В” — 3/7. Какой может быть доля мальчиков среди учеников всех трех классов.
Решение:
(№721 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя метод оценки.
Пусть x, y, z – доля мальчиков среди учеников соответственно класса “А”, “Б”, “В”, а n1, n2, n3 – количество учеников в классах “А”, “Б”, “В”соответственно.
Согласно с обозначениями условие задачи можно записать в виде следующей системы:
.
Вопрос задачи сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений следующего выражения:
F = (xn1 + yn2 + zn3)/(n1 + n2 + n3).
Используя условие, получаем, что
F = (xn1 + yn2 + zn3)/(n1 + n2 + n3) =
= (6x–6y+6z–29xz+35xyz)/(6–29y+35yz–35xz+35xy).
Функция F – дробно-линейная по каждому аргументу, яна возрастает или убывает, наибольшее и наименшее свое значение принимает на концах отрезка.
Рассмотрим действительные наборы значений (x, y, z) из нулей и единиц, учитывая, что x и y, а также y и z не могут одновременно быть нулями или единицами.
Проанализируем различные наборы (x, y, z) с помощью таблицы и подсчитаем соответствующие им значения функции F:
x |
y |
z |
F |
Коментарии |
0 |
1 |
0 |
6/23 |
Наименьшее значение функции |
1 |
0 |
1 |
17/29 |
Наибольшее значение функции |
Ответ: От 6/23 до 17/29.