Доказать, что функция постоянная на своей области допустимых значений

Дробно-линейные функции f(x) и g(x) такие, что f(x) > g(x) при всех значениях x, которые принадлежат областям определения обоих функций. Доказать, что функция f(x) – g(x) постоянная на своей области допустимых значений.

Решение:

(№828 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод оценки.

Пусть f(x) = (ax+ b)/(cx+ d).

f(x) – гипербола с вертикальной асимптотой x= – d/c. Для выполнения условия  f(x) > g(x) необходимо, чтобы g(x) также имела асимптотой x= – d/c, это означает, что g(x) = (mx+ n)/(cx+ d).

Тогда f(x) – g(x) = (ax+ b)/(cx+ d) – (mx+ n)/(cx+ d) = [(am)x+ (bn)]/(cx+ d) > 0, при любом xd/c, потому что по условию f(x) > g(x).

Неравенство [(am)+ (bn)]/(cx+ d) > 0 тождественно выполняется только тогда, когда (am)/c = (bn)/d = k = const. Это означает, что функция f(x) – g(x) постоянная на своей области допустимых значений.

Что и требовалось доказать.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт