Расстояние между точками минимума функции
Четыре корня многочлена f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d составляют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите расстояние между точками минимума этой функции f(x).
Решение:
(№773 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя метод сведения к квадратному уравнению.
Обозначим через y среднее арифметическое корней многочлена f(x).
Имеем:
f(x) = (x – y – 3/2)( x – y – 1/2)( x – y + 1/2)( x – y + 3/2) =
= ((x – y)2 – 9/4)( (x – y)2 – 1/4) = ((x – y)2 – 5/4)2 – 1.
Отсюда видно, что точки минимума функции f(x) совпадают с корнями уравнения (x – y)2 = 5/4, тоесть с числами x1 = y + 51/2/2 и x2 = y – 51/2/2.
Расстояние между точками минимума функции f(x) равно
│x1 – x2│= │y + 51/2/2 – y + 51/2/2 │= 51/2.
Ответ: 51/2.