Расстояние между точками минимума функции

Четыре корня многочлена f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d составляют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите расстояние между точками минимума этой функции f(x).

Решение:

(№773 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод сведения к квадратному уравнению.

Обозначим через y среднее арифметическое корней многочлена f(x).

Имеем:

f(x) = (xy – 3/2)( xy – 1/2)( xy + 1/2)( xy + 3/2) =

= ((xy)2 – 9/4)( (xy)2 – 1/4) = ((xy)2 – 5/4)2 – 1.

Отсюда видно, что точки минимума функции f(x) совпадают с корнями уравнения (xy)2 = 5/4, тоесть с числами x1 = y + 51/2/2 и x2 = y – 51/2/2.

Расстояние между точками минимума функции f(x) равно

x1 x2│= │y + 51/2/2 – y + 51/2/2 │= 51/2.

Ответ: 51/2.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт