Функциональное неравенство

Докажите, что если  f(x) = (x + 2 + (2x – 1)^1/2)/(x – (2x – 1)^1/2) и x > 1, то f(f(x)) = x.

Решение:

(№323 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод внутренней симметрии.

Пусть f(x) = y, тогда условие f(f(x)) = x записывается в виде f(y) = x, это означает, что нам достаточно доказать, что x через y и y через x выражаются по одинаковым формулам.

f(x) = y = (x + 2 + (2x – 1)^1/2)/(x – (2x – 1)^1/2) (*).

Обозначим t = (2x – 1)^1/2, тогда x = (t² + 1)/2 и посколькуx > 1, то t > 1.

y = (t² + t + 5)/(t² – 2t + 1) = (t² – 2t + 1 + 4t +4)/(t² – 2t + 1) =

= 1 + (4t +4)/(t² – 2t + 1) > 1,

(t² – 2t + 1) =  t² + t + 5, (y – 1)t² – 2(y + 1)t + y – 5 = 0.

Поскольку y> 1, то полученное уравнение – квадратное. Пусть t₁ и t₂ –  его корни и  t₁ ≥ t₂.

Если  t₂ ≥ 1, то 1 ≤t₂ ≤ t₁. С учетом теоремы Виета t₂ = (y – 5)/(y – 1) = (y – 1– 4)/(y – 1) = 1 – 4/(y – 1) < 1 – противоречие. Получаем, что t₂ < 1.

Поскольку t > 1, то t = (y + 1 + 2(2y – 1)^1/2)/(y – 1).

Тогда x = (t² + 1)/2 = (y² + 4y – 1 + 2(y + 1)∙(2y – 1)^1/2)/(y – 1)² (**).

y² + 4y – 1 + 2(y + 1)∙(2y – 1)^1/2 = (y + 2 + 2(2y – 1)^1/2)(y + (2y – 1)^1/2),

(y – 1)² = (y + (2y – 1)^1/2)∙(y – (2y – 1)^1/2).

С (**) получаем x = (y + 2 + 2(2y – 1)^1/2)∙(y + (2y – 1)^1/2)/[ (y + (2y – 1)^1/2) (y – (2y – 1)^1/2)] = (y + 2 + 2(2y – 1)^1/2)/(y – (2y – 1)^1/2), и таким образом x = f(y). Мы доказали, что x через y и y через x выражаются по одинаковым формулам. Что и требовалось доказать.