Задачи на Восстановление чисел при умножении и делении
Задачи на Восстановление чисел при умножении и делении
Решение:
4. а) Ответ: 520 х 43 = 22360.
Цифра единиц числа в 3-ей строке равна О, так как она сносится при сложении. Поэтому и цифра единиц первого сомножителя равна О, так как только при умножении 0 на 3 произведение оканчивается на 0. Цифра десятков числа в 3-ей строке равна 6(2x3 = 6). Так как цифра сотен числа в 3-ей строке равна 5, то цифра сотен первого сомножителя равна 5, ибо только при умножении 5 на 3 произведение оканчивается на 5. Поскольку 520 х 3 = 1560 < 20**, а 520 х х 5 = 2600 > 20**, то цифра десятков второго сомножителя равна 4. Итак, первый сомножитель равен 520, второй - 43. Остальные пропущенные цифры теперь восстанавливаются легко, б) Ответ: 157 х 563 = 88391.
Цифра единиц числа в 3-ей строке равна 1, так как она сносится при сложении. Поэтому цифра единиц второго сомножителя равна 3, так как только при умножении 7 на 3 произведение оканчивается на 1. Цифра десятков второго сомножителя равна 6, ибо только при умножении 7 на 6 произведение оканчивается на 2. Так как при умножении первого сомножителя на цифру сотен второго сомножителя произведение является трехзначным числом, то число сотен первого сомножителя равно 1. При умножении цифры десятков первого сомножителя на 3 произведение должно оканчиваться на 5, так как 7 х 3 = 21, то есть при умножении две единицы разряда десятков будут замечены и 7 - 2 = 5. Поэтому цифра десятков первого сомножителя равна 5 (только при умножении 5 на 3 произведение оканчивается на 5). Итак, первый сомножитель равен 157, второй - 563. Остальные пропущенные цифры теперь восстанавливаются легко, в) Ответ: 336 х 717 = 240912.
Цифра единиц числа в 3-ей строке равна 2, так как 2 сносится при сложении. Цифра десятков этого числа равна 5 (5 + 6 = 11). Первыми двумя цифрами числа, стоящего в 5-ой строке (с учетом того, что при сложении трех цифр предыдущего разряда могло быть замечено не более двух единиц), могут быть 22, 23, 24. Поэтому цифра сотен первого сомножителя равна 3, то есть первой цифре частного при делении указанных трех чисел на 7. Цифра единиц второго сомножителя может быть равной либо 2, либо 7, ибо только при умножении 2 и 7 на 6 произведение оканчивается на 2. Если бы эта цифра была равна 2, то при умножении ее на первый сомножитель произведение было бы числом трехзначным, в то время как это произведение, то есть число в 3-ей строке, - четырехзначное. Поэтому цифра единиц второго сомножителя равна 7. Цифра десятков первого сомножителя равна 3, ибо при умножении 7 на 6 будут замечены 4 десятка и, следовательно, при умножении 7 на цифру десятков первого сомножителя произведение должно оканчиваться на 1, что возможно лишь для при умножении 7 на 3. Цифра десятков второго сомножителя равна либо 1, либо 6 (так как при умножении этой цифры на 6 произведение оканчивается на 6); однако, если 6 умножить на 336, то получится число четырехзначное, в то время как произведение цифры десятков второго сомножителя на 336, то есть число в 4-ой строке, есть число трехзначное, следовательно, искомая цифра это 1. Итак, первый сомножитель равен 336, второй - 717.
г) Ответ: 5007 х 603 = 3019221.
Цифра единиц первого сомножителя равна 7, так как при умножении этой цифры на 3 произведение должно оканчиваться на 1, а это возможно лишь в том случае, когда искомая цифра равна 7. Цифра десятков первого сомножителя равна 0, ибо при умножении 3 на 7 будут замечены 2 десятка и, следовательно, при умножении 3 на цифру десятков произведение должно оканчиваться на 0. Из вида записи условия следует, что цифра десятков второго сомножителя равна 0. При умножении цифры сотен второго сомножителя на 7 произведение оканчивается на 2, а это возможно лишь в случае, когда цифра сотен равна 6. Теперь легко определить цифру десятков числа в 4-ой строке: она равна 4 (6 х х 7 = 42). Поскольку первая цифра числа в 4-ой строке равна 3, то первая цифра первого сомножителя - либо 5, либо 6. Если бы эта цифра была равна 6, то первые две цифры (с учетом возможного переноса единиц предыдущего разряда) числа, стоящего в 3-ей строке, были бы либо 18, либо 19, либо 20, что однако не возможно, ибо при сложении 4 с последними цифрами этих чисел (18, 19, 20) мы не можем получить ни 9, ни 8 (даже если бы были замеченные единицы этого разряда). Следовательно, первая цифра первого сомножителя равна 5. Поэтому первые две цифры числа, стоящего в 3-ей строке, - либо 15, либо 16, либо 17, и, с учетом последующего сложения последней цифры этих чисел с 4, единственно возможным вариантом является 15. Легко теперь восстановить цифру сотен числа в 4-ой строке: она равна 0(1 + 0 = 1). Поэтому число сотен первого сомножителя - либо 0, либо 5, а так как при умножении этой цифры на 3 должно получиться число меньшее 10, то искомая цифра равна 0. Итак, первый сомножитель равен 5007, второй - 603. Остальные пропущенные цифры восстанавливаются легко, д) Ответ: 7775 х 5557 = 43205675.
Легко восстановить последние две цифры числа, стоящего в 6-ой строке: это последние две цифры произведения 5 на 75, то есть 7 и 5. Заметим, что если четырехзначное число умножить на два различных однозначных числа, то разность между полученными произведениями будет больше 1000, поэтому цифра десятков второго сомножителя равна его цифре сотен и равна цифре тысяч, то есть эти цифры равны 5. При делении числа 38*75 на 5 получаем число 7***, то есть первая цифра первого сомножителя равна 7. Так как 7*75 х 6 < 8000 х 6 = 48000 < 54***, а 7*75 х 8 > > 7000 х 8 = 56000 > 54***, то цифра единиц второго сомножителя равна 7. Теперь легко восстановить цифру сотен первого сомножителя: так как 7 х 7 = 49, то при умножении 7 на эту цифру (плюс 5 замеченных в результате умножения 7 на 75) должно быть замечено 5 десятков, поэтому искомая цифра равна 7. Итак, первый сомножитель равен 7775, второй - 5557. Остальные пропущенные цифры восстанавливаются легко, е) Ответ: 65127 х 4005 = 260833635.
Из записи условия видно, что цифры сотен и десятков второго сомножителя равны 0. Так как произведение последних цифр сомножителей оканчивается на 5, то одна из этих цифр 5, причем легко заметить, что 5 не может быть последней цифрой первого сомножителя, ибо при умножении этой цифры на первую цифру второго сомножителя произведение оканчивается на 8. Теперь легко определить первую цифру первого сомножителя: она равна 6 (32 : 5 = 6 (остаток 2)). Так как 3 < 26**08 : 6**** < 5, то цифра тысяч второго сомножителя равна 4. Тогда цифра единиц первого сомножителя равна 7 (ибо только произведение 4 на 2 и на 7 оканчивается на 8, но произведение 2 на 5 оканчивается на 0). Цифра десятков первого сомножителя равна 2, так как при умножении ее на 4 произведение оканчивается на 8, а при умножении на 5 произведение оканчивается на 0. Легко видеть, что третья цифра числа в 3-ей строке равна 5. Поэтому цифра тысяч первого сомножителя равна 5, так как 325 : : 5 = 65. Из этого следует, что при умножении третьей цифры первого сомножителя на 5 произведение должно быть меньше 10, то есть эта цифра или 0, или 1. Она будет равна 1, поскольку при ее умножении на 4 мы должны получить число, оканчивающееся на 4 (так как четвертая цифра числа в 4-ой строке равна 5 и при умножении 4 на 27 будет замечена одна сотня). Итак, первый сомножитель равен 65127, второй - 4005.