В квадрате размерами 5×5 закрасить 16 клеток

Можно ли в квадрате размерами 5×5 клеток закрасить 16 клеток так, чтобы в каждом квадрате размером 2×2 было окрашено не более чем две клетки?

Решение:

(№682 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.

Нельзя. Выделенные квадраты 4×4 вместительностью 4 квадрата 2×2, значит, у них может быть окрашено не более 8 клеток. Значит в 9 остальных клетках (нижняя строка и правый столбец, верхняя строка и левый столбец) должно быть окрашено не менее 8 клеток.

Если окрашенных клеток 9, то в правом нижнем (левом верхнем) квадрате 2×2 окрашено 3 клетки, что не подходит в условие задачи.

Если окрашенных клеток 8, то встретится угловой квадрат 2×2, в котором окрашено 3 клетки, что не подходит в условие задачи.

Каждая из клеток со звездочками входит в квадрат 2×2, который уже имеет 2 окрашенные клетки, значит, эти клетки не окрашены. Значит, в левом верхнем квадрате 3×3 окрашено ровно 8 клеток, но это возможно только если будет существовать квадрат 2×2 с 3 окрашенными клетками, что не подходит в условие задачи.

Ответ: Нельзя.

У нас можно найти еще логические задачи по математике с решениями.