Метод рассмотрения частных случаев

Есть n пчелок и n + 1 цветок. Определите, при каких значениях переменной n может так получиться, что каждая пчелка посетила одинаковое количество цветков, но на каждом цветке побывала разное количество пчелок.

Решение:

(№543 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом рассмотрения частных случаев.

Пронумеруем цветки от 1 до + 1, а п челок от 1 до n. Рассмотрим таблицу. Будем ставить звездочки (*) па следующему правилу: если i-я пчелка посетила k-й цветок, то ставим в эту клетку (*) (i-й столбец и k-я строка), в других случаях клетки остаются без (*). Подсчитаем двумя разными способами количество клеток со (*).

Поскольку на каждом цветке побывало разное количество пчелок и цветков + 1, а пчелок n, то пчелки посетили 0, 1, … , n цветков, потому что в таблице есть строка, в которой нет ни  одной клетки со (*), есть строка, в которой одна клетка со (*) и так далее, есть строка, в которой n клеток со (*). Других строк нет. Значит, в таблице 0 + 1 + 2 + … + n = (n + 1)/2 звездочка. Такие задачи вам поможет решить репетитор по олимпиадным задачам.

С другой стороны, поскольку каждая пчелка посетила одинаковое количество цветков, то в каждом столбце таблицы находится одинаковое количество клеток со (*) (пусть их m). Звездочек в таблице m∙n. Поскольку m∙n  = n(n + 1)/2, то m  = (n + 1)/2 и n  = 2m – 1 – это нечетное число. Остается расставить звездочки в таблице так, чтобы в строках было 0, 1, … , n клеток со (*), а в каждом столбце (n + 1)/2.

Еще логические задачи по математике для школьников.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт