Десятиклассники Коля, Вася и Сережа руководят математическим кружком учащихся четвертых классов

Десятиклассники Коля, Вася и Сережа руководят математическим кружком учащихся четвертых классов. На одном из занятий они предложили членам кружка логическую задачу, составленную одним из мальчиков. На вопрос, кто составил задачу, были даны такие ответы:

Сережа: 1) Я не составлял. 2) Вася не составлял.

Вася: 3) Сережа не составлял. 4) Задачу составил Коля.

Коля : 5) Я не составлял. 6) Задачу составил Сережа.

Известно, что один из них, назовем его правдивым, оба раза говорил правду; второй, назовем его шутником, оба раза сказал неправду, а третий, назовем его хитрецом, один раз сказал правду, а второй раз - неправду.

Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто составил задачу?

Решение.

 

Способ 1. Узнаем вначале, например, кто из ребят правдивый.

Если правдивый - Сережа, то из справедливости утверждений (1) и (2) следует, что задачу составил Коля. Но тогда оба заявления Васи тоже справедливы, чего быть не может, ибо только у одного из них могут быть оба заявления верными. Следовательно, Сережа не является правдивым.

Если правдивый - Вася, то тогда вновь получаем, что задачу составил Коля, значит, оба заявления Сережи тоже верны, чего быть не может. Следовательно, Вася тоже не является правдивым.

Итак, имя правдивого не Сережа и не Вася, поэтому его имя - Коля.

Тогда из того, что утверждения (5) и (6) справедливы, следует, что задачу составил Сережа. Получаем, что из двух заявлений Сережи первое неверно, а второе верно; Вася оба раза солгал.

Следовательно, шутником является Вася, а хитрец - Сережа.

Способ 2. Можно было вначале искать, кто из троих составил задачу. Если задачу составил Сережа, то тогда его заявление (1) - неверное, а (2) - верное; у Васи - оба неверные, а у Коли - оба верные. Такой случай возможен, если Коля - правдивый, Вася - шутник, а Сережа - хитрец.

Итак, задача решена. Но надо проверить, не подойдет ли еще какой-либо другой ответ. Поэтому следует рассмотреть случаи - не могут ли быть составителями задачи Вася или Коля.

Если задачу составил Вася, то первое заявление Сережи верно, а второе - ложно. Но и у Васи заявление (3) - верно, а (4) - ложно, что противоречит условию задачи.

Если задачу составил Коля, тогда все четыре первых заявления верны, чего быть не может.

Следовательно, задачу составил Сережа.

Способ 3. Можно решить задачу и по-другому: узнать, кем является, например, Сережа. Самостоятельно проверьте, кто Сережа: правдивый, хитрец или шутник.

Способ 4. Данную задачу пытались решить многие великие математики. Иногда целесообразно перебрать все приведенные утверждения и установить, какое из них верно, а какое - ложно. Для сокращения записей условимся верное утверждение обозначать знаком « + », а ложное - знаком «—». При таких обозначениях возможен лишь случай, когдау одного будет два плюса, у другого - два минуса, а у третьего - один плюс и один минус.

Пусть заявление (1) верное. Тогда (2) может быть как верным, так и ложным. Если утверждение (2) тоже верное, то получим:

Сережа: + +,

Вася:     + +,

Коля:     - -,

но такого сочетания знаков быть не может.

Если утверждение (2) ложно, то получим:

Сережа: + -

Вася:      + -,

Коля:      + -,

чего также быть не может.

Следовательно, заявление (1) не может быть верным, оно ложно. Но тогда сразу получаем, что задачу составил Сережа. Чтобы ответить на остальные вопросы, рассмотрим распределение знаков: Сережа: - +, Вася:                                      - -,

Коля:          + +.

Отсюда ясно, что имя правдивого - Коля, имя хитреца - Сережа, а шутника - Вася.

Способ 5. Четвертый способ решения сложный, требует много времени, то есть, как говорят в математике, нерациональный. Лучше, хотя и труднее, внимательно изучить все приведенные заявления и установить некоторые зависимости между ними, которые позволят быстрее решить задачу.

Например, легко заметить, что заявления (1) и (3) утверждают одно и то же. Если они верны, то из справедливости заявления (2) следует справедливость заявления (4), и, наоборот, если верно (4), то верно и (2). Значит, ни Сережа, ни Вася не могут быть правдивыми. Дальнейшее решение уже простое.

Рекомендуем самостоятельно провести одно-два рассуждения, начиная, например, не с Сережи, а с Коли.