Окружность и прямоугольный треугольник

Через точку K биссектрисы AD острого угла A прямоугольного треугольника ABC проведена прямая под прямым углом к AD, которая пересекает гипотенузу AB в точке N. Доказать, что угол между прямыми DN и CK равен половине угла BAC.

Решение:

(№1006 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Обозначим СА= DАВ = α.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника МKDС ровна 90°, то вокруг него можно описать окружность. Поэтому СМ= СKD = β (опираются на дугу СD); МС= СDK = γ (опираются на дугу дугу МK). Поскольку ΔМК= ΔDKN (М= KN, потому что АDбиссектриса, а KD – общая), то МDK = KDN.

Рассмотрим ΔАСK: α + γ = β (*) (DKС – внешний для ΔАСK).

Рассмотрим ΔТКD: KТ+ γ = β (**) (СКD – внешний для ΔТKD).

Сравнивая (*) и (**), получаем, что KТ= α, что и требовалось доказать.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым