Окружность, вписанная в треугольник делит медиану на три части

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану AM на три части. Определите, как сторона BC относится к стороне AB и к стороне CA.

Решение:

(№679 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Имеем: AE = EP = PM = a; AK = AN; NB = BR = RC = CK = b.

Поскольку квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то AK2 = 2a·a= 2a2.

Используем формулу для медианы треугольника:

АМ2 = 2·(АС2 + АВ2) – СВ2,

4·(3·a)2 = 2·((2·(2)1/2·a + b)2 + b2) – (2·b)2,

20·a2= 8·(2)1/2·a·b.

Последнее равенство разделим на 4·a ≠ 0, получим: 5·a = 2·(2)1/2·b, откуда a = (2·(2)1/2·b)/5.

Выразив все стороны треугольника через b, получим следующее:

ВС:АВ:СА = (2b):(b):( 2·(2)1/2·a + b) =  

== 10:5:13.

Ответ: 10:5:13.

Решения задач про окружность.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым