Члены последовательности

Последовательность (ak) задана условиями a0= 0, a1 = 1 и  при k >1.

Докажите, что все члены этой последовательности являются натуральными числами.

Решение:

(№412 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод индукции.

C помощью метода математической индукции докажем, что при произвольном kЄN выполняется неравенство

ak+1 = 4akak-1 + 1 (*).

Тройки чисел (a2; a1; a0) и (a3; a2; a1), где a2 = 5, a3 = 20 удовлетворяют (*).

Пусть ak+1 = 4ak  – ak-1 + 1 при конкретном kЄN.

Тогда ak+1ak-1 = – 2ak+1 + 4ak+ 1, а поскольку при этом

(ak+1ak-1)2 = 12ak(ak + 1) + 1, то (4ak –2ak+1 + 1)2 = 12ak(ak + 1) + 1 (**).

Равенства (**) равнозначны равенству ak+12+ ak2 – 4ak+1akak+1ak = 0, в котором переменные ak и ak+1  равноправные. Хти переменные равноправны и в (**), переставив их местами, получим:

(4ak+1 –2ak+ 1)2 = 12ak+1(ak+1 + 1) + 1, (4ak+1 –2ak+ 1)2 = (ak+2ak)2.

Поскольку ak+2>ak+1>ak и, то имеем 4ak+1 –2ak  + 1 = ak+2 ak.

Это означает, что ak+2  =  4ak+1ak  + 1.

Шаг индукции обоснован. Значит равенсво (*) выполняется при любом kЄN.

Посколку числа a0 и a1 – целые, то с учетом вышедоказаной формулы и все осталные члены последовательности – целые числа. Из-за того, что a1 > a0 получаем:

a2 = 4a1a0 + 1 = 3a1+ 1 + (a1a0) > a1.

Индукцией легко убедиться, что ak+1 > ak. Значит все числа ak целые и они больше чем 0 при k ≥ 1.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт