Найти член последовательности
Последовательность {an} задана условиями a1 = 3 + 71/2, an + 1 = 1/(1–an). Найти a2010.
Решение:
(№147 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя метод внутренней симметрии.
Исходя из формулы из условия найдем несколько членов последовательности:
a2 = 1/ (1–3–71/2) = 1/ (–2–71/2) = –1/(2+71/2) = (2–71/2)/3;
a3 = 1/ (1–a2) =3/ (1+71/2);
a4 = 1/ (1–a3) =3+71/2;
a5 = 1/ (1–a4) = (2–71/2)/3.
Таким образом a1 = a4, a2 = a5, a3 = a6.
Заметим, что 2010 кратно 3, тогда a2010 = a3 = 3/(1+71/2) = (71/2–1)/2.
Ответ: a2010 = (71/2–1)/2.