Окружности помещены внутри параболы

Окружности w1, w2, w3, ... помещены внутри параболы y = x2 так, что w1 касается параболы в ее вершине и имеет радиус 0,5, окружность wт + 1 при каждом m касается окружности wm и ветвей параболы. Найти радиус окружности w2009.

Решение:

(№641 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод индукции.

Пусть rn – радиус окружности wn, Sn = r1 + r2 + … + rn.

Тогда уравнение окружности wт + 1  имеет вид:

x2 + (y– (2Sn+ rn+1))2 = rn+12.

Условие касания означает, что уравнение y + (y– (2Sn+ rn+1))2 = rn+12 имеет единственный корень, тогда его дискриминант:

D = (2rn+1–1)2 – 8Sn = 0.

rn+1 = ((8Sn)1/2 + 1)/2, поскольку rn+1> 0.

Откуда r2 = 3/2, r3 = 5/2.

Индукцией можно убедиться, что rn = n – 1/2.

Действительно, если rm = m – 1/2 при mk, то

.

Значит, r2009 = 2009 – 1/2 = 2008,5.

Ответ:r2009 = 2008,5.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт