Решить систему функциональных уравнений

Решить систему уравнений 

Решение:

(№272 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Рассмотрим функцию f(t) = t3/13 – 12/13. Поскольку f′(t) = 3t3/13 > 0, то функция f(t) – возрастает.

Стстема имеет вид:   или , значит x = f(f(f(x))).

Если f(t) = y и x, то f(y) = z и f(y) > f(x) = y. А тогда f(z) > f(y) > x. Значит в этом случае f(z) ≠ 0.

Также устанавливается, что если x то f(z) < f(y) = x. Поэтому подходить в систему может только такой набор, для которого x = y = z.

Найдем, например, х: x3 – 13x – 12 = 0. Действительные корни ищем среди делителей свободного члена (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12).

После непосредственной подстановки делителей свободного члена в последнее уравнение, получаем, что х = –1; –3; 4. Решением исходной системы уравнений являются следующие тройки чисел (-1; -1; -1); (-3; -3; -3); (4; 4; 4).

Ответ: (-1; -1; -1); (-3; -3; -3); (4; 4; 4).

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт