Решить систему с параметрами
Решить систему и определить, при каких значениях параметровa и b числа в решении системы являются положительными и разными.
Решение:
(№827 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом сведения к квадратному уравнению.
Используя второе уравнение системы, получаем:
(x + y)2 – 2xy + z2 = b2, (x + y + z)2 – 2z(x + y) – 2xy = b2.
Из первого и последнего уравнений имеем: a2 – 2z(a – z) – 2z2 = b2, откуда z = (a2 – b2)/2a.
Подставляем выражение для z в первое уравнение и выражаемx:
x = a – (a2 – b2)/2a – y = (a2 – b2)/2a – y.
Используем последнее уравнение системы:
[(a2 – b2)/2a – y]∙ y = (a2 – b2)2/4a2, 4a2y2 – 2a(a2 + b2) + (a2 – b2)2 = 0.
Решения последнего уравнения:
Тогда
Получаем, что решения исходной системы:
Определим при каких значениях параметровa и b числа в решении системы являются положительными и разными.
С учетом исходной системы, можно показать, чтоx и y являются решениями следующего уравнения: t2 – (a – z)t + z2 = 0. Решения последнего уравнения существуют и они разные и положительные при D>0 и a>z>0 (вершина параболы положительная): (a – 3z) (a + z) >0. Решаем это неравенство: –a<z<a/3, –a<(a2–b2)/(2a)<a/3, .
Для решения последней системы используем графический метод:
Ответ: ,
числа в решении системы являются положительными и разными при .