Решить систему с параметрами

Решить систему и определить, при каких значениях параметровa и b числа в решении системы являются положительными и разными.

Решение:

(№827 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом сведения к квадратному уравнению.

Используя второе уравнение системы, получаем:

(x + y)2 – 2xy + z2 = b2, (x + y + z)2 – 2z(x + y) – 2xy = b2.

Из первого и последнего уравнений имеем: a2 – 2z(az) – 2z2 = b2, откуда z = (a2b2)/2a.

Подставляем выражение для z в первое уравнение и выражаемx:

x = a – (a2b2)/2ay = (a2b2)/2ay.

Используем последнее уравнение системы:

[(a2b2)/2ay]∙ y = (a2b2)2/4a2, 4a2y2 – 2a(a2 + b2) + (a2b2)2 = 0.

Решения последнего уравнения:

Тогда 

Получаем, что решения исходной системы:

 Определим при каких значениях параметровa и b числа в решении системы являются положительными и разными.

С учетом исходной системы, можно показать, чтоx и y являются решениями следующего уравнения: t2 – (az)t + z2 = 0. Решения последнего уравнения существуют и они разные и положительные при D>0 и a>z>0 (вершина параболы положительная): (a – 3z) (a + z) >0. Решаем это неравенство: –a<z<a/3, –a<(a2b2)/(2a)<a/3, .

Для решения последней системы используем графический метод: 

Ответ: ,

числа в решении системы являются положительными и разными при .

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт