На смежных сторонах ромба

На смежных сторонах AB и BC ромба ABCD построены такие правильные треугольники ABF и BCG, что один из них лежит вне ромба, а второй имеет с ромбом общую треугольную часть. Докажите, что точки D, F и G лежат на одной прямой.

Решение:

(№1570 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Проведем диагональ АС, обозначим ﮮACG = x, тогда, с учетом того, что ΔBCG– правильный,  ﮮВСА = 60° – х = ﮮАCD.

Получаем, что ﮮGCD= 60° – 2х.

ΔFВG – равнобедренный (BF = BG). Обозначим ﮮВFG = ﮮВGF = z.

ΔFАD – равнобедренный. Обозначим ﮮFАD = ﮮАDF= k.

ΔABF – правильный (по условию), тогда:

ﮮAFB = ﮮ FАD + ﮮВFG = z + k = 60°.

Рассмотрим ΔFАD, сумма его внутренних углов:

ﮮFАD + ﮮАDF + ﮮDFА = 180°,

(ﮮFАВ + ﮮВАС + ﮮСАD) + ﮮАDF + ﮮDFА = 180°.

С учетом введенных обозначений:

(60° + 60° – х + 60° – х) + k+ k= 180°. Откуда х = k.

Поскольку z + k = 60°, то z + х = 60° (*).

ΔGCD – равнобедренный, поскольку CD = CD. Обозначим ﮮCGD = ﮮGDC = y. Сумма внутренних углов ΔGCD:

ﮮCGD + ﮮGDC + ﮮGCD = y + y + 60° – 2х = 180°, y – х = 60° (**).

Сложим (*) + (**):

z + х + y – х  = 60° + 60°, или z + y = 120°.

ﮮGFD = ﮮFGВ + ﮮВGС + ﮮСGD = z + 60° + y = 60° + 120° = 180°,

Или ﮮGFD – развернутый. Получили, что точки D, F и G лежат на одной прямой.

Если вам не хватало знаний по теории при решении этой или других задач по математике, то вы можете ее быстро найти здесь. Очень сложно решать задачи по математике, не зная теории. Хотя знание формул и математических теорем не гарантирует успешного решения задач...