Окружность, вписанная в трапецию

Окружность касается оснований AD и BC трапеции ABCD в точках M и N, а боковых сторон — в точках P и Q. Докажите, что если прямые MC, ND и PQ пересекаются в одной точке, то трапеция равнобедренная.

Решение:

(№144 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Рассмотрим прямоугольную трапецию NСDM, через точку Е пересечения ее диагоналей MC и ND, проведем прямую RT параллельно основаниям. NCE подобен MED с коэффициентом подобия a/b:

NR/RM = a/b, CT/TD = a/b.

Поскольку RTпараллельна основаниям, то СТ = СQ= a. Получили, что точки Q и Т совпадают. с/d = a/b.

Пусть c = ka, d = kb, тогда высота трапеции:

C другой стороны, это означает, что = 1, а c= a. Этого достаточно, чтобы утверждать, что трапеция равнобедренная.

Быстро вспомнить теорию по математике - формулы по математике, теоремы по математике...

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт