Правильный треугольник

Точка Q правильного треугольника ABC выбрана так, что QA² + QB² = QC². Найдите угол AQB.

Решение:

(№952 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Повернем ∆AQС на угол 60º около точки С. При этом точка А перейдет в В, Q в Р, С в С. QС = РС = z, а ﮮQСР = 60º. Поэтому ∆QСР  – равносторонний, QР = z. AQ= ВР = х.

С учетом условия х² + y² = z² получаем, что ∆QВР – прямоугольный (ﮮQBP= 90º). ﮮBEQ= 60º (поворот осуществлялся именно на такой угол), AQB = 150º (ﮮАQВ – внешний для ∆QВЕ).

Ответ: 150º.