Отрезки могут быть сторонами треугольников

Есть пять таких отрезков, что любые три из них могут быть сторонами некоторых треугольников. Докажите, что среди них есть остроугольный треугольник.

Решение:

(№1050 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Пусть a, b, c, d, e – данные отрезки, причем abcde. Допустим, что все треугольники, составленые из этих отрезков не остроугольные, тогда получаем:

c2 a2 + b2; d 2 b2 + c2; e2 c2 + d 2.

Сложим последнее неравенства:

c2 + d 2 + e2 a2 + 2b2 + 2c2 + 2d 2 или

e2 a2 + b2 + c2 + d 2a2 + b2 + 2bc a2 + b2 + 2ab ≥ (a + b) 2.

Получили, что e a + b, это означает, что из отрезков a, b, e нельзя сложить треугольник, а это противоречит допущению.

Вы можете также ознакомиться с решением школьных задач повышенной сложности, эти задачи будут полезны как школьникам, которые интересуются математикой, так и учителям, которые руководят школьным математическим кружком. 

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым