Угол треугольника равен 60°
На сторонах AB и BC квадрата ABCD выбраны такие точки M и N, что MB + BN = AB. Докажите, что прямые DM и DN делят отрезок AC на три части, которые могут быть сторонами треугольника, один из углов которого равен 60°.
Решение:
(№410 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.
Пусть сторона квадрата 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке, тогда В(0;0), А(0;1),D(1;1), С(1;0).
АС: x + y = 1,
DМ: , y = a(x – 1) + 1,
АСᵔDМ = R:.
DN: , x = (y – 1)(1 – a) + 1,
АСᵔDN = Т: .
АR =;
RТ = ;
ТС = .
Косинус угла треугольника со сторонами АR, RТ, ТС напротив стороны RТ:
Получили, что cosφ = 1/2, это означает, что угол φ равен 60°.
Другие задачи с решениями по математике разного уровня сложности и практически по всем темам школьного курса.