Радиус вписанной окружности

В треугольнике ABC проведена высота AM. Определите, может ли радиус вписанной в треугольник AMB окружности быть вдвое больше чем радиус окружности, которая вписана в треугольник AMC.

Решение:

(№78 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом рассмотрения частных случаев.

Может. Убедится в этом с помощью построения.

Проведем прямую QN. Проведем перпендикуляр MR к ВС. Отложим отрезок длины МР = r на луче МN. Через точку Р проведем перпендикуляр к QN, на нем отложим отрезок РН = r. Строим окружность w1 с центром Н и радиусом r.

Также строим окружность w2 радиуса 2r, которая касается сторон угла QМА.

На луче MR выберим точку А, на расстоянии больше чем 4r от точки М.

Через точку А проводим касательную к окружности w2, она пересечет QN в точке В. Получили, что окружность w2 вписана в треугольник AMB.

Через точку А проводим касательную к окружности w1, она пересечет QN в точке С. Получили, что окружность w1 вписана в треугольник AMС.

Ответ: Может.

Как решать другие олимпиадные задачи по математике можно найти у нас на сайте.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт