Решите уравнение с косинусом

Решите уравнение 4cos 2x – cos 4x = 16x + 3.

Решение:

(№1571 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Сделаем замену 2= у и используем формулу двойного аргумента.

Получаем:

4cos у – 2 cos2у + 1 = 8у + 3, cos2у – 2cos у + 1 + 4у= 0,

(cos у – 1) 2 = – 4у.

Поскольку |cos у – 1| ≤ 2, то – 1 ≤ у ≤ 0. Если – 1 ≤ у ≤ 0, то 1/2 < cos у < 1, а поэтому |cos у – 1| ≤ 1/2. Получили, что – 1/4 ≤ у ≤ 0 (*).

Обозначим f = 4у + (cos у – 1)2. Находим производную от f:

f ' = 4 + 2(cos у – 1)(–sin у) = 2(2 – sin у(cos у – 1)).

С учетом (*): |sin у| < 1, |cos у – 1| < 1, т. е. f ' > 0 (f возрастает на (*)).

Получили, что исходное уравнение имеет только один корень = 0.

Ответ: 0.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым