Решите уравнение с косинусом
Решите уравнение 4cos 2x – cos 4x = 16x + 3.
Решение:
(№1571 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Сделаем замену 2x = у и используем формулу двойного аргумента.
Получаем:
4cos у – 2 cos2у + 1 = 8у + 3, cos2у – 2cos у + 1 + 4у= 0,
(cos у – 1) 2 = – 4у.
Поскольку |cos у – 1| ≤ 2, то – 1 ≤ у ≤ 0. Если – 1 ≤ у ≤ 0, то 1/2 < cos у < 1, а поэтому |cos у – 1| ≤ 1/2. Получили, что – 1/4 ≤ у ≤ 0 (*).
Обозначим f = 4у + (cos у – 1)2. Находим производную от f:
f ' = 4 + 2(cos у – 1)(–sin у) = 2(2 – sin у(cos у – 1)).
С учетом (*): |sin у| < 1, |cos у – 1| < 1, т. е. f ' > 0 (f возрастает на (*)).
Получили, что исходное уравнение имеет только один корень x = 0.
Ответ: 0.