Тригонометрическая замена в уравнении

Решите уравнение (1 – 2y)1/2(1 – 4y(1 + 2y)1/2) = 8y2 – 1.

Решение:

(№359 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом перехода к новым переменным.

Раскроем скобки в исходном уравнении:

(1 – 2y)1/2 – 2 ∙ 2y (1 – 4y2)1/2 = 2 ∙ (2y)2 –1.

Учтя, что 2y ≤ 1, сделаем замену 2y = cos x, x Є[0; π]:

(1 – cos x)1/2 – 2 cos x (1 – cos2x)1/2 = 2 cos2x – 1,

(1 – cos x)1/2 – 2 cos x ∙ sin x = 2 cos2x – 1, т.к. sin x ≥ 0.

Будем решать последнее уравнение:

(1 – cos x)1/2 – 2 cos x ∙ sin x = 2 cos2x – 1,

(1 – cos x)1/2 – (sin 2x + cos 2x) = 0.

В соответствии с формулой a cos t + b sin t = (a2 + b2)1/2 cos (t),

= arctc (b/a) получаем:

(1 – cos x)1/2 = 21/2 cos (2x – π/4).

Имеем cos(2x – π/4) ≥ 0, тогда

1 – cos x = 2 cos2(2x – π/4),

1 – cos x = 2 ∙ (1 + cos(4x – π/2))/2,

– cos x = cos(4x – π/2).

С учетом (1) получаем sin 4x + sin (π/2 – x) = 0,

2 sin (3x/2 + π/4) cos(5x/2 – π/4) = 0,

3x/2 + π/4 = πn, n Є Z, x = – π/6 + 2πn/3.

Рассматричаемому промежутку принадлежит только число x1 =  π/2, но

cos (2x1 – π/4) = cos 3π/4 <0,

5x/2 – π/4 = π/2 + πn, k Є Z, x = (4k + 1)π/10.

Рассматричаемому промежутку принадлежат только числа x2 =  π/10, x3 =  π/2, x4 =  9π/10.

Число x3 необходимо откинуть, а числа x2 и x4 в условие (*) подходят.

Переходя к переменной y, получаем, что y2 = cos(π/10), y4 = – cos(π/10).

Ответ: ±cos(π/10).

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт