Функциональное уравнение
Решить уравнение f(f(f(f(f(x))))) = 0, где f(x) = x2 + 10x + 20.
Решение:
(№361 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом сведения к квадратному уравнению.
Пусть f(f(f(f(x)))) = a, тогда f(a) = 0:
a 2 + 10a+ 20 + 5 = 5, (a+ 5) 2 = 5, значит a = ± (5)1/2 – 5.
Пусть f(f(f(x))) = b, тогда f(b) = a:
b 2 + 10b+ 20 + 5 = ± (5)1/2, (b+ 5) 2 = (5)1/2, значит b = ± (5)1/4 –5.
Пусть f(f(x)) = с, тогда f(с) = b:
с 2 + 10с + 20 + 5 = (5)1/4 , (с + 5)2 = (5)1/4 , значит с = ± (5)1/8 – 5.
Пусть f(x) = d, тогда f(d) = с:
d2 + 10d+ 20 + 5 = (5)1/8 , (d+ 5)2 = (5)1/16 , значит d = (5)1/16 – 5.
Получили, что x2+ 10x+ 20 = ± (5)1/16 – 5, или (x+ 5)2 = (5)1/16 , значит
x = ± (5)1/32 –5.
Ответ: x = ± (5)1/32 –5.