Доказать кубическое неравенство

Доказать, что если a > b > 2/3, то выполняется неравенство a3b3 > a2b2.

Решение:

(№912 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом тождественных преобразований.

Исходя из условия получаем, что a > b > 2/3, тогда

a – 2/3 > b – 2/3 > 0.

Возведем в куб последнее неравенство (a – 2/3)3 > (b – 2/3)3, получим:

a3 – 3a2∙2/3 + 3a∙4/9 – 8/27 > b3 – 3b 2∙2/3 + 3b∙4/9 – 8/27,

a3b3 > 2(a2b2) + 4/3(ba) = 2(a2b2) – 4/3(ab) =

= a2b2 + (ab)∙(a + b – 4/3) > a2b2.

Получили, что выполняется неравенство a3b3 > a2b2.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым