Доказать кубическое неравенство
Доказать, что если a > b > 2/3, то выполняется неравенство a3 – b3 > a2 – b2.
Решение:
(№912 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом тождественных преобразований.
Исходя из условия получаем, что a > b > 2/3, тогда
a – 2/3 > b – 2/3 > 0.
Возведем в куб последнее неравенство (a – 2/3)3 > (b – 2/3)3, получим:
a3 – 3a2∙2/3 + 3a∙4/9 – 8/27 > b3 – 3b 2∙2/3 + 3b∙4/9 – 8/27,
a3 – b3 > 2(a2 – b2) + 4/3(b – a) = 2(a2 – b2) – 4/3(a – b) =
= a2 – b2 + (a – b)∙(a + b – 4/3) > a2 – b2.
Получили, что выполняется неравенство a3 – b3 > a2 – b2.