Доказать, что неравенства не могут выполняться одновременно

Доказать, что если a, b, c, d — положительные числа, то неравенства

a + b < с + (1),

(a + b)∙(с + d) < ab + сd (2),

(a + b)сd < ab(с + d) (3)

не могут выполняться одновременно.

Решение:

(№955 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Допустим, что условия (1), (2), (3) выполняюся одновременно. Исходя из условия  (2) получаем, что aс + ad + bc + bd < ab + сd.

Поскольку b — положительное число, то домножив (1) на b получим:

ab + b2 < cb + db, откуда ab < cb + db - b2.

Тогда:

aс + ad + bc + bd < ab + сd < cb + dbb2 +cd, aс + ad < сd - b2 < сd,

aс + ad < сd, a∙(с + d) < сd.

Исходя из (3), получаем следующее

a(с + d)∙(a + b) < (a + b)∙сd < ab∙(с + d), a(с + d)∙(a + b) < ab∙(с + d),

a + b < b, a < 0.

В итоге получили противоречие с тем, что a — положительное число. То есть неравенства не могут выполняться одновременно.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым