Доказать, что неравенства не могут выполняться одновременно
Доказать, что если a, b, c, d — положительные числа, то неравенства
a + b < с + d (1),
(a + b)∙(с + d) < ab + сd (2),
(a + b)∙сd < ab∙(с + d) (3)
не могут выполняться одновременно.
Решение:
(№955 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Допустим, что условия (1), (2), (3) выполняюся одновременно. Исходя из условия (2) получаем, что aс + ad + bc + bd < ab + сd.
Поскольку b — положительное число, то домножив (1) на b получим:
ab + b2 < cb + db, откуда ab < cb + db - b2.
Тогда:
aс + ad + bc + bd < ab + сd < cb + db – b2 +cd, aс + ad < сd - b2 < сd,
aс + ad < сd, a∙(с + d) < сd.
Исходя из (3), получаем следующее
a(с + d)∙(a + b) < (a + b)∙сd < ab∙(с + d), a(с + d)∙(a + b) < ab∙(с + d),
a + b < b, a < 0.
В итоге получили противоречие с тем, что a — положительное число. То есть неравенства не могут выполняться одновременно.