Доказать, что для любых положительных чисел выполняется неравенство

Доказать, что для любых положительных чисел a1,  a2, ... , an выполняется неравенство

a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + … + an-2/(an-1+an) + an-1/(an+a1) > n/4.

Решение:

(№829 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Выберем  — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем ,  — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем и — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем.

В конце концов мы придем к:.

Если номера 1, 2, 3, …, n разместить по кругу, то ik+1 и ik (ik и i1) будут стоять рядом или через одного, rn/2.

Данная сумма больше чем

.

Поскольку среднее арифметической не меньше чем среднее геометрическое, то uuuuuuur48, или Sr. Значит данная сумма не более чем n/4. 

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым