Уравнения на плоскости

Найдите множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1.    х² + у² + 4х - 6у - 3 = 0;
2.    х³у — 27у⁴ = 0;
3.    x - 2|y| = 0;
4.    |х|+|y| = 2;
5.    х² + y2 = 4|x|.
Решение:

 1) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем х²+у²+4х-6у-3=(х+ 2)² +(у-3)²-16=0 или (х+2)²+(у-3)²=42.

Это уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке (-2: 3).
2) Так как

а равенство

выполняется только при х = у = 0, то множество решений исходного уравнения — совокупность прямых y=0 и х- 3y=0.

3) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Искомое множество решений — совокупность точек двух лучей:

4) Множество решений уравнения -граница квадрата с вершинами А(2; 0), 5(0; 2), С(-2; 0), D(0; -2):

 

Действительно, если х≥0, у≥0, то уравнение имеет вид х + у = 2, а множество его решений - координаты точек отрезка АВ.

Так как |-х| = |х|, |-y| = |y|, то множество решений исходного уравнения является симметричным относительно обеих координатных осей.

5) Уравнение равносильно совокупности

х² - 4х + 4 + у² = 4

двух уравнении:

х² + 4х + 4 + у² = 4.

Первое из этих уравнений, записанное в виде (х - 2)² + у² = 4, является уравнением окружности Сх радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

Аналогично, второе уравнение, записанное в виде (х + 2)² + у² = 4 , является уравнением окружности С₂ радиуса 2 с центром в точке (-2; 0).

Множество решений исходного уравнения - совокупность точек окружностей С₁ и С₂.

 

 Как решать задачи про координатную плоскость смотрите на других страницах сайта.